Te enseñaron que integrar es «lo contrario de derivar». Es un atajo, no la definición. La integral definida es el límite de una suma de rectángulos; que se pueda calcular con primitivas es un teorema, y de los más bonitos de las matemáticas.
El problema: áreas con curvas
El área de un polígono es fácil: se divide en triángulos. Con un contorno curvo, como un círculo o una parábola, esa técnica no basta. La idea griega fue aproximar la figura curva con figuras que sí sabemos medir, cada vez más ajustadas, y ver hacia dónde se acercan.
Con su método de agotamiento, Arquímedes demostró que el área de un segmento de parábola es exactamente \tfrac{4}{3} del área del triángulo inscrito en él, «agotando» el hueco con triángulos cada vez más pequeños. Es, en esencia, un paso al límite, dieciocho siglos antes del cálculo.
Sumar rectángulos
Queremos el área bajo y = f(x) \geq 0 entre x = a y x = b. Dividimos [a, b] en n subintervalos de la misma longitud \Delta x = \frac{b-a}{n}, \qquad x_i = a + i\,\Delta x \quad (i = 0, 1, \dots, n). Sobre cada subintervalo levantamos un rectángulo de base \Delta x y altura f(x_i), el valor de la función en su extremo derecho. Sumando sus áreas:
S_n = f(x_1)\,\Delta x + f(x_2)\,\Delta x + \cdots + f(x_n)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.
El subíndice i recorre los rectángulos uno a uno, del 1 al n. El sumatorio \Sigma es solo una forma compacta de escribir esa suma larga.
El paso al límite
Al aumentar n, cada rectángulo se estrecha y el error se reduce. El área exacta aparece cuando tomamos el límite:
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.
Si f es continua en [a, b], el límite existe y además no depende del punto de cada subintervalo que usemos para la altura (extremo derecho, izquierdo o cualquier otro).
| Suma de Riemann | Notación de Leibniz | |
|---|---|---|
| \Sigma (suma) | \to | \int, una S alargada de summa |
| f(x_i), altura | \to | f(x), el integrando |
| \Delta x, base | \to | dx, base infinitesimal |
| de i = 1 a n | \to | de a a b, los límites de integración |
Calcular una integral solo con la definición
Con a = 0, b = 1: \;\Delta x = \tfrac{1}{n} y x_i = \tfrac{i}{n}. Entonces S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}. Y al tomar el límite, \;\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
| n | 4 | 10 | 100 | 1000 | \infty |
|---|---|---|---|---|---|
| S_n | 0{,}4688 | 0{,}3850 | 0{,}3384 | 0{,}3338 | \tfrac13 |
Hemos usado \;1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, que se demuestra por inducción.
El signo de la integral
Si f es negativa, las alturas f(x_i) son negativas y la integral también. Si f \leq 0 en [a, b], el área es \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|. Si f cambia de signo, hay que separar los tramos; en general, \text{Área} = \int_a^b |f(x)|\,dx. Por ejemplo, \int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0, porque las dos «jorobas» se cancelan, pero el área encerrada es 4.
De un número a una función
Si dejamos fijo el punto de partida a y movemos el final, el área deja de ser un número y pasa a ser una función:
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
La variable de integración es muda: la llamamos t para no confundirla con el extremo x. Observa que F(a) = 0.
El teorema que lo une todo
Si f es continua en [a, b], la función F(x) = \int_a^x f(t)\,dt es derivable y F'(x) = f(x).
El cociente incremental es el área de una tira fina dividida entre su anchura: \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt. Por el teorema del valor medio integral, existe c_h entre x y x+h con \int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h)\,h. Así que el cociente vale f(c_h). Cuando h \to 0, c_h \to x y, por ser f continua, f(c_h) \to f(x).
Si f es continua en [a, b] y G es una primitiva de f (G' = f), entonces \int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a).
F y G tienen la misma derivada, luego difieren en una constante: F = G + C. Como F(a) = 0, C = -G(a) y, evaluando en b, \int_a^b f = F(b) = G(b) - G(a).
Volvemos al ejemplo: \int_0^1 x^2\,dx = \left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \tfrac13, el mismo número que nos dio el límite. Las primitivas no definen la integral: son el atajo que el teorema fundamental nos regala para calcularla.
Para practicar
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Calcula \int_0^2 x\,dx con sumas de Riemann y comprueba el resultado con el área de un triángulo.
Solución
\Delta x = \tfrac2n, x_i = \tfrac{2i}{n}: S_n = \tfrac{4}{n^2}\sum i = \tfrac{4}{n^2}\cdot\tfrac{n(n+1)}{2} = \tfrac{2(n+1)}{n} \to 2. El triángulo de base 2 y altura 2 tiene área 2. \checkmark
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Calcula el área encerrada entre y = x^2 - 1 y el eje x.
Solución
Corta al eje en \pm 1 y es negativa entre ellos: \int_{-1}^{1}(x^2 - 1)\,dx = \left[\tfrac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1} = -\tfrac43. El área es \tfrac43.
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Si F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt, calcula F'(x) y F'(0).
Solución
Por el teorema fundamental, F'(x) = e^{-x^2} y F'(0) = 1, aunque e^{-t^2} no tenga una primitiva elemental.
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Explica por qué \int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0 sin hacer cuentas.
Solución
x^3 es impar: el área sobre [0,1] y la de [-1,0] son iguales con signos opuestos y se cancelan.