Seguro que la conoces de memoria. En estos apuntes vamos a deducirla paso a paso, completando el cuadrado, y a ver qué más nos cuenta: el discriminante, las relaciones de Cardano‑Vieta y el cuadrado «de verdad» con el que al‑Juarismi resolvía ecuaciones hace doce siglos.
El punto de partida
Es toda ecuación que puede escribirse en la forma ax^2 + bx + c = 0, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \neq 0.
La condición a \neq 0 no es un tecnicismo: si a = 0, el término x^2 desaparece y la ecuación es de primer grado. Toda la deducción usa que podemos dividir entre a.
Dividir entre a
Dividimos los dos miembros entre a y pasamos el término independiente al otro lado: x^2 + \frac{b}{a}\,x = -\frac{c}{a}. El objetivo de todo lo que sigue es que la x aparezca una sola vez: así podremos despejarla.
Completar el cuadrado
Recordemos la identidad notable del cuadrado de una suma:
En el primer miembro ya tenemos «el cuadrado del primero», x^2, y algo que puede hacer de «doble del primero por el segundo». Hacemos la correspondencia: p = x, \qquad 2pq = \frac{b}{a}\,x \;\Longrightarrow\; q = \frac{b}{2a}. Solo falta q^2. Lo sumamos en los dos miembros para no alterar la igualdad: x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}. A la izquierda hay un cuadrado perfecto; a la derecha, reducimos a común denominador 4a^2:
El número \Delta = b^2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación.
Completar el cuadrado convierte una expresión con dos apariciones de x en un único cuadrado \left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2. Es el corazón de la demostración.
La raíz cuadrada, con cuidado
El primer miembro es un cuadrado, así que es \geq 0. Si \Delta < 0, el segundo miembro es negativo y la ecuación no tiene soluciones reales. Supongamos, pues, \Delta \geq 0 y tomemos raíces.
Para todo número real t, \quad\sqrt{t^2} = |t|.
El símbolo \sqrt{\phantom{x}} denota la raíz principal, que por definición nunca es negativa. Por eso \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|, y no -3. Aplicándolo a los dos miembros: \left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}.
Quitar el valor absoluto: nace el \pm
Si k \geq 0, la igualdad |t| = k equivale a t = k o t = -k. Por tanto x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|} \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}.
El signo de a
Si a > 0, entonces |a| = a y juntamos en una sola fracción: \;x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
Si a < 0, entonces |a| = -a y el signo se invierte: \;x = \dfrac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}. Pero «\mp» y «\pm» describen el mismo par de números, así que el resultado es idéntico.
Si a \neq 0 y \Delta = b^2 - 4ac \geq 0, las soluciones reales de ax^2 + bx + c = 0 son x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Lo que cuenta el discriminante
| Discriminante | Soluciones reales | La parábola y = ax^2+bx+c… |
|---|---|---|
| \Delta > 0 | Dos, distintas | corta al eje x en dos puntos |
| \Delta = 0 | Una (doble): x = -\frac{b}{2a} | toca al eje en su vértice |
| \Delta < 0 | Ninguna | no llega a tocar el eje |
Suma y producto de las soluciones
Si x_1, x_2 son las soluciones de ax^2 + bx + c = 0, entonces x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.
Al sumar, las raíces se cancelan: \;x_1 + x_2 = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}. Al multiplicar aparece una suma por diferencia: x_1 x_2 = \frac{(-b)^2 - \left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}.
Un ejemplo completo
Aquí a = 2, b = -3, c = -2, así que \Delta = 9 + 16 = 25 y x = \frac{3 \pm 5}{4} \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2, \qquad x_2 = -\tfrac{1}{2}. Comprobación con Cardano‑Vieta: x_1 + x_2 = \tfrac{3}{2} = -\tfrac{b}{a} y x_1 x_2 = -1 = \tfrac{c}{a}. \checkmark
En su tratado de álgebra, al‑Juarismi resuelve x^2 + 10x = 39 completando un cuadrado geométrico: un cuadrado de lado x y dos rectángulos de x \times 5 forman casi un cuadrado de lado x + 5; le falta una esquina de 5 \times 5 = 25. Añadiéndola, (x+5)^2 = 39 + 25 = 64, luego x + 5 = 8 y x = 3. Es exactamente nuestro paso 2, dibujado.
Para practicar
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Resuelve x^2 - 6x + 5 = 0 completando el cuadrado, sin usar la fórmula.
Solución
x^2 - 6x = -5 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 4 \Rightarrow (x-3)^2 = 4, así que x - 3 = \pm 2: \;x = 5 o x = 1.
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¿Para qué valores de k tiene x^2 + kx + 9 = 0 una única solución (doble)?
Solución
Hace falta \Delta = k^2 - 36 = 0, es decir, k = 6 o k = -6.
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Demuestra que si a y c tienen signos opuestos, la ecuación tiene siempre dos soluciones reales distintas.
Solución
Si ac < 0, entonces -4ac > 0 y \Delta = b^2 - 4ac \geq -4ac > 0.
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¿Es cierto que \sqrt{x^2} = x para todo x? Da un contraejemplo.
Solución
No: con x = -2, \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \neq -2. Lo correcto es \sqrt{x^2} = |x|.
