Un triángulo de catetos 1 y 1 bastó para romper la filosofía de los pitagóricos. Aquí tienes la demostración completa de que \sqrt2 no es una fracción, el lema que la sostiene y por qué el mismo truco no funciona con \sqrt4.
Un número que no debía existir
Para los pitagóricos «todo es número»: cualquier magnitud se podía expresar con enteros o razones entre ellos. Pero en el triángulo rectángulo de catetos 1 y 1, el teorema de Pitágoras da h^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{2} = 1{,}41421356237\ldots
Cuenta la tradición que Hipaso de Metaponto reveló el secreto de los inconmensurables y murió en el mar como castigo. Las fuentes son muy posteriores y probablemente es una leyenda, pero refleja lo inquietante del descubrimiento.
Qué significa «racional»
Un número real x es racional si existen enteros a, b con b \neq 0 tales que x = \dfrac{a}{b}. Si no existen, x es irracional.
La fracción \frac{a}{b} es irreducible si a y b son primos entre sí: su único divisor común positivo es 1.
Toda fracción puede simplificarse hasta ser irreducible dividiendo numerador y denominador entre su máximo común divisor. Por eso podemos exigirlo «gratis» en la hipótesis.
La reducción al absurdo
Para demostrar una afirmación P, suponemos que es falsa y razonamos con pasos correctos. Si llegamos a una contradicción, algo que es a la vez cierto y falso, la única pieza que puede fallar es la suposición inicial. Luego P es verdadera.
Con pasos lógicos válidos, de una premisa verdadera nunca se deduce algo falso. Si aparece un absurdo, la premisa era falsa.
Si n^2 es par, n es par
Sea n un número entero. Si n^2 es par, entonces n es par.
Lo probamos por el contrarrecíproco: si n es impar, n^2 es impar. En efecto, si n = 2k + 1, n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\,(2k^2 + 2k) + 1, que es impar. Así que si n^2 es par, n no puede ser impar.
La demostración
\sqrt{2} es irracional.
- Hipótesis. Supongamos que \sqrt2 es racional: \sqrt{2} = \dfrac{a}{b}, con a, b enteros, b \neq 0 y \frac{a}{b} irreducible.
- Elevando al cuadrado, 2 = \dfrac{a^2}{b^2}, es decir, \;a^2 = 2b^2.
- Entonces a^2 es par (es 2 por algo) y, por el lema, a es par: a = 2k.
- Sustituyendo, 2b^2 = (2k)^2 = 4k^2, luego \;b^2 = 2k^2.
- Por el mismo razonamiento, b^2 es par y b es par.
- Contradicción. a y b son pares, así que 2 los divide a ambos: la fracción no era irreducible.
Como todos los pasos son correctos, la hipótesis es falsa: \sqrt2 no es racional.
¿Y por qué no falla con \sqrt4?
Una buena forma de entender una demostración es ver dónde se rompe. Si intentamos lo mismo con \sqrt4 = \frac ab: a^2 = 4b^2 \;\Rightarrow\; a = 2k \;\Rightarrow\; 4k^2 = 4b^2 \;\Rightarrow\; k^2 = b^2. No llegamos a que b sea par: el 4 se cancela entero y la contradicción no aparece. Y no podía aparecer, porque \sqrt4 = \frac21. En general se puede probar:
Si n es un número natural, \sqrt{n} es entero (cuando n es un cuadrado perfecto) o es irracional. Nunca es una fracción no entera.
Para practicar
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Demuestra que \sqrt3 es irracional.
Solución
Lema: si 3 \mid n^2, entonces 3 \mid n, porque si n = 3k \pm 1, n^2 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1. Con \sqrt3 = \frac ab irreducible: a^2 = 3b^2, luego a = 3k; 3b^2 = 9k^2, luego b^2 = 3k^2 y 3 \mid b. Contradicción.
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Demuestra por reducción al absurdo que hay infinitos números primos (Euclides).
Solución
Si solo hubiera p_1, \dots, p_k, el número N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1 deja resto 1 al dividirlo entre cada p_i. Pero N > 1 tiene algún divisor primo, que tendría que ser uno de los p_i. Contradicción.
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Demuestra que \log_2 3 es irracional.
Solución
Si \log_2 3 = \frac ab con a, b > 0, entonces 2^{a/b} = 3, es decir, 2^a = 3^b. El primer miembro es par y el segundo impar. Contradicción.
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Si q es racional y q \neq 0, ¿puede ser racional q\sqrt2?
Solución
No. Si q\sqrt2 = r fuera racional, \sqrt2 = \frac{r}{q} sería racional (cociente de racionales con q \neq 0). Contradicción.